Вопрос школьника
В плоскости даны два равных отрезка АВ и A1B1 Докажите, что на плоскости можно выбрать две прямые таким образом, что в результате двух последовательных симметрии (сначала относительно первой, а затем — второй прямой) точка А перейдёт в точку А1, а точка В — в точку B1
Ответ от учителя
Для начала заметим, что если мы можем выбрать две прямые, удовлетворяющие условию задачи, то мы можем выбрать их таким образом, чтобы они пересекались в точке, через которую проходят отрезки $AB$ и $A_1B_1$. Действительно, если мы выберем две прямые, которые не пересекаются в этой точке, то мы можем повернуть плоскость вокруг этой точки так, чтобы прямые пересеклись в ней.
Пусть $O$ — середина отрезка $AB$ (и отрезка $A_1B_1$). Рассмотрим прямую $l$, проходящую через точки $A$ и $O$. Пусть $A’$ — образ точки $A$ при симметрии относительно прямой $l$. Тогда $OA=OA’$, так как $O$ — середина отрезка $AA’$. Аналогично, рассмотрим прямую $l’$, проходящую через точки $B$ и $O$, и образ $B’$ точки $B$ при симметрии относительно $l’$. Тогда $OB=OB’$.
Рассмотрим теперь прямую $m$, проходящую через точки $A’$ и $B’$. Пусть $A»$ — образ точки $A’$ при симметрии относительно $m$, а $B»$ — образ точки $B’$ при симметрии относительно $m$. Тогда $A»B»=A’B’=AB$, так как $A’B’$ — отрезок, соединяющий образы точек $A$ и $B$ при симметрии относительно $m$. Кроме того, $OA»=OA’$ и $OB»=OB’$, так как $A’$ и $B’$ лежат на прямых $l$ и $l’$, соответственно. Значит, треугольники $OA»B»$ и $OAB$ равны, и точки $A»$ и $B»$ являются образами точек $A$ и $B$ при двух последовательных симметриях относительно прямых $l$ и $l’$.
