Вопрос школьника
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 длина стороны основания равна a. Найдите площадь поверхности призмы, если угол при вершине C1 треугольника BC1D равен а.
Ответ от учителя
Площадь поверхности призмы состоит из площадей ее боковой поверхности и двух оснований.
Площадь боковой поверхности можно найти, разбив ее на четыре прямоугольных трапеции. Для этого нужно найти высоту каждой трапеции.
Высота трапеции BC1D равна проекции боковой ребра призмы на плоскость основания. Так как угол при вершине C1 равен а, то треугольник BC1D является равнобедренным, а значит, высота трапеции равна
h = a * tg(a/2)
Высота трапеции A1B1C1D равна высоте призмы, то есть a.
Таким образом, площадь боковой поверхности равна
Sб = 2 * a * h + 2 * a * a = 2a(a + h)
Площадь каждого основания равна a^2, поэтому площадь поверхности призмы равна
S = 2a(a + h) + 2a^2 = 2a(a + tg(a/2) + a) = 2a^2 + 2a*tg(a/2) + 2a^2 = 4a^2 + 2a*tg(a/2)
Ответ: S = 4a^2 + 2a*tg(a/2).
