Вопрос школьника
В правильной четырехугольной призме сумма площадей оснований равна площади ее боковой поверхности. Вычислите объем призмы, если диаметр окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через две вершины одного основания и противолежащую вершину другого основания, равен 6 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно знать формулы для площади основания и боковой поверхности правильной четырехугольной призмы.
Площадь основания можно вычислить по формуле S = a^2, где a — длина стороны основания. Так как у нас правильная четырехугольная призма, то все стороны основания равны между собой. Пусть длина стороны основания равна a, тогда площадь одного основания будет S1 = a^2, а сумма площадей двух оснований будет S1 + S1 = 2a^2.
Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы состоит из четырех равных трапеций. Площадь одной трапеции можно вычислить по формуле S = (a+b)h/2, где a и b — длины оснований трапеции, h — высота трапеции. Так как у нас правильная четырехугольная призма, то все трапеции равны между собой. Пусть длина меньшего основания трапеции равна a, длина большего основания равна b, а высота трапеции равна h. Тогда площадь одной трапеции будет S2 = (a+b)h/2, а площадь боковой поверхности будет S2 + S2 + S2 + S2 = 4S2.
Теперь мы знаем, что сумма площадей оснований равна площади боковой поверхности: 2a^2 = 4S2. Разрешим это уравнение относительно a: a^2 = 2S2.
Для вычисления объема призмы нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. Высота призмы равна диаметру окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через две вершины одного основания и противолежащую вершину другого основания, то есть h = 6 см.
Таким образом, мы можем выразить длину стороны основания через высоту призмы: a^2 = 2S2 = h^2/2, откуда a = h/√2.
Площадь основания равна S1 = a^2 = h^2/2, а объем призмы равен V = S1*h = h^3/2√2. Подставляя значение высоты призмы h = 6 см, получаем V = 54√2 см^3.
Ответ: объем призмы равен 54√2 см^3.
