Вопрос школьника
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна 3а.
Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание теоремы Пифагора и тригонометрии.
Пусть ABCD — основание пирамиды, E — вершина пирамиды, AE — высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то все боковые грани равны и равнобедренны, а углы между боковыми гранями и плоскостью основания равны.
Рассмотрим треугольник AED. По теореме Пифагора:
AD^2 = AE^2 — ED^2
Так как пирамида правильная, то AD = AB = BC = CD = a. Также из условия задачи известно, что AE = 3a. Подставляем значения:
a^2 = (3a)^2 — ED^2
ED^2 = 8a^2
ED = 2a√2
Рассмотрим теперь треугольник ADE. По определению тангенса:
tg(угол наклона боковой грани к плоскости основания) = DE / AD
tg(угол наклона боковой грани к плоскости основания) = 2a√2 / a
tg(угол наклона боковой грани к плоскости основания) = 2√2
Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен arctg(2√2) ≈ 54.7°.
Так как углы между боковыми гранями и плоскостью основания равны, то угол наклона бокового ребра к плоскости основания также равен 54.7°.
