Вопрос школьника
В правильной четырёхугольной призме диагональ равна 1. При каком угле между диагональю и плоскостью основания призма имеет наибольшую площадь боковой поверхности?
Ответ от учителя
Пусть основание призмы — квадрат со стороной a, высота призмы — h. Тогда диагональ основания равна d = a√2.
Рассмотрим боковую поверхность призмы. Она состоит из двух прямоугольных треугольников, основания которых равны диагонали основания, а высоты равны высоте призмы. Площадь каждого треугольника равна S = (1/2) * d * h. Таким образом, площадь боковой поверхности равна Sб = 2S = d * h.
Угол между диагональю и плоскостью основания призма обозначим через α. Тогда высота призмы равна h = d * sin(α), а площадь боковой поверхности равна Sб = d^2 * sin(α).
Для нахождения угла α, при котором Sб максимальна, найдем производную Sб по α и приравняем ее к нулю:
d^2 * cos(α) = 0
Так как d ≠ 0, то cos(α) = 0, то есть α = π/2.
Таким образом, наибольшая площадь боковой поверхности призмы достигается при угле между диагональю и плоскостью основания, равном 90 градусов (то есть когда диагональ перпендикулярна к плоскости основания).
