Вопрос школьника
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 диагонали B1F и B1E равны 15 и 17. Найдите площадь боковой поверхности и объем этой призмы.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формул для нахождения площади боковой поверхности и объема призмы.
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:
Sб = Pос * h
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы:
V = Sос * h
Для нахождения периметра основания и высоты призмы нам нужно разобраться с ее геометрическими характеристиками.
Правильная шестиугольная призма имеет следующие характеристики:
— основание — правильный шестиугольник;
— боковые грани — прямоугольные трапеции;
— высота призмы — расстояние между основаниями.
Таким образом, для нахождения периметра основания нам нужно найти длину стороны шестиугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника B1EF:
B1E^2 = B1F^2 + EF^2
17^2 = 15^2 + EF^2
EF^2 = 17^2 — 15^2 = 64
EF = 8
Таким образом, сторона шестиугольника равна 2 * EF = 16.
Периметр основания равен 6 * 16 = 96.
Для нахождения высоты призмы воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника B1E1F1:
B1E1^2 = B1F1^2 + F1E1^2
B1E1^2 = B1F^2 + EF^2 + (B1F1 — B1E)^2
B1E1^2 = 15^2 + 8^2 + (B1F1 — 17)^2
B1E1^2 = 289 + (B1F1 — 17)^2
Аналогично, B1F1^2 = 289 + (B1E1 — 15)^2
Так как призма правильная, то B1E1 = B1F1 и B1E = B1F. Поэтому:
B1E1^2 = B1F1^2
289 + (B1F1 — 17)^2 = 289 + (B1E1 — 15)^2
(B1F1 — 17)^2 = (B1E1 — 15)^2
B1F1 — 17 = B1E1 — 15
B1F1 = B1E1 + 2
Подставляем в первое уравнение:
B1E1^2 = 289 + (B1E1 + 2 — 17)^2
B1E1^2 = 289 + (B1E1 — 15)^2
B1E1^2 — (B1E1 — 15)^2 = 289
2 * B1E1 * 15 — 15^2 = 289
B1E1 = 17
Таким образом, высота призмы равна 17.
Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности и объем призмы:
Sб = Pос * h = 96 * 17 = 1632
V = Sос * h = (6 * 16^2 * sqrt(3)) / 4 * 17 = 1248 * sqrt(3)
Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 1632, объем призмы равен 1248 * sqrt(3).
