Вопрос школьника
В правильной треугольной пирамиде SABC из вершины C и из точки D, делящей ребро AC на отрезки AD = 15 см и DC =10 см, проведены перпендикуляры к грани SAB. Вычислите длину каждого перпендикуляра, если расстояние между их основаниями равно 6 см.
Ответ от учителя
Пусть перпендикуляры, проведенные из вершины C и точки D, пересекают грань SAB в точках E и F соответственно. Так как треугольник SAB является прямоугольным, то высота пирамиды, опущенная на его гипотенузу, равна половине гипотенузы. Поэтому высота пирамиды равна 10 см.
Треугольник ACD также является прямоугольным, поэтому мы можем найти длину ребра CA, используя теорему Пифагора:
AC² = AD² + DC²
AC² = 15² + 10²
AC² = 325
AC = √325 ≈ 18,03 см
Теперь мы можем найти длину отрезка CE, используя подобие треугольников SAB и SCE:
SE/SA = CE/CA
SE/10 = CE/18,03
CE = 10 × 18,03 / SE
Аналогично, мы можем найти длину отрезка DF, используя подобие треугольников SAB и SDF:
SF/SA = DF/DA
SF/10 = DF/15
DF = 10 × 15 / SF
Также нам дано, что расстояние между основаниями перпендикуляров равно 6 см. Это означает, что отрезки CE и DF вместе с отрезком EF образуют прямоугольный треугольник CEF, в котором один катет равен 6 см, а гипотенуза равна CE + DF.
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы CEF:
(CE + DF)² = CE² + DF²
CE² + 2CE × DF + DF² = CE² + DF²
2CE × DF = 6²
CE × DF = 18
Теперь мы можем подставить выражения для CE и DF, найденные ранее, и решить уравнение:
(10 × 18,03 / SE) × (10 × 15 / SF) = 18
SE × SF = 1250,5
Мы получили уравнение, связывающее длины перпендикуляров из вершины C и точки D. Однако, чтобы решить его, нам нужно еще одно уравнение, связывающее высоту пирамиды и длины перпендикуляров.
Рассмотрим треугольник CEF. Мы уже знаем длину гипотенузы CE + DF и один катет (расстояние между основаниями перпендикуляров) равны 6 см. Значит, мы можем найти второй катет, который равен половине высоты пирамиды:
(CE + DF)² = 6² + h²
CE² + 2CE × DF + DF² = 36 + h²
h² = CE² + DF² + 2CE × DF — 36
h² = 325 + 2 × 18 × 15 — 36
h² = 966
h = √966 ≈ 31,09 см
Теперь мы можем подставить найденную высоту в уравнение, связывающее длины перпендикуляров:
SE × SF = 1250,5
SE × (SE + 6) = 1250,5
SE² + 6SE — 1250,5 = 0
Решив это квадратное уравнение, мы получим два корня:
SE ≈ 34,68 см или SE ≈ -36,68 см
Отрицательный корень не имеет физического смысла, поэтому мы выбираем положительный корень. Теперь мы можем найти длины перпендикуляров:
CE = 10 × 18,03 / SE ≈ 54,14 см
DF = 10 × 15 / SF ≈ 43,31 см
Итак, длина перпендикуляра из вершины C равна примерно 54,14 см, а длина перпендикуляра из точки D равна примерно 43,31 см.
