Вопрос школьника
В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения SK и BL обозначена как M, а точка пересечения SK и BK обозначена как N. Тогда, так как треугольник BKL равнобедренный, то точки M и N являются серединами отрезков BL и BK соответственно. Значит, BM = 2 и BN = 4.
Также заметим, что треугольники BSK и BAC подобны, так как углы BSK и BAC являются соответственными углами при параллельных прямых SK и AC. Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот:
BS/BA = SK/AC
BS/2 = SK/BC
BS = 2SK/BC
Аналогично, треугольники CSL и ABC подобны, и мы можем записать:
CS/CA = SL/AB
CS/2 = SL/BC
CS = 2SL/BC
Так как BM = 2 и BN = 4, то MN = 2. Также заметим, что треугольники BMN и KNL подобны, так как углы BMN и KNL являются соответственными углами при параллельных прямых SK и AC. Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот:
MN/KN = BM/CS
2/KN = 2/CS
KN = CS
Таким образом, мы получили, что KN = CS = 2SL/BC. Значит, треугольники KNL и CSL равны, так как у них равны две стороны и угол между ними (угол KNL) равен 90 градусов (так как SK перпендикулярна плоскости ABC).
Теперь мы можем найти угол между плоскостью ABC и плоскостью SKL. Этот угол равен углу между прямой KL и прямой, перпендикулярной плоскости ABC. Заметим, что прямая KL лежит в плоскости ABC, так как точки K, L и середина BC лежат на одной прямой. Значит, угол между KL и перпендикулярной плоскости ABC равен углу между прямой KL и прямой, пересекающей плоскость ABC под углом 90 градусов.
Так как треугольник BKL равнобедренный, то прямая, проходящая через его вершину B и середину BL, является высотой. Значит, эта прямая пересекает плоскость ABC под углом 90 градусов. Также заметим, что прямая KL параллельна этой высоте, так как она лежит в плоскости ABC. Значит, угол между KL и перпендикулярной плоскости ABC равен углу между прямой KL и высотой, то есть 45 градусов.
Итак, угол между плоскостью ABC и плоскостью SKL равен 45 градусов.
