Вопрос школьника
В правильной треугольной пирамиде SABC точки E и D — середины ребер SA и SB соответственно. Через середину O отрезка CE проведена прямая, параллельная прямой AD и пересекающая поверхность пирамиды в точке T. Постройте точку T и вычислите длину отрезка OT, если СЕ = 8 см.
Ответ от учителя
Для начала построим точку T. Так как прямая, проходящая через середину ребра CE, параллельна прямой AD, то она также параллельна плоскости SAB. Значит, точка T лежит на прямой, проходящей через точки O и пересечение прямых AD и CE (обозначим эту точку как X).
Для нахождения точки X построим плоскость, проходящую через точки A, B и O. Так как точка E является серединой ребра SA, то она также лежит на этой плоскости. Значит, прямая CE лежит в этой плоскости. Также прямая AD лежит в плоскости, проходящей через точки A, B и D. Значит, точка X лежит на пересечении этих двух плоскостей, то есть на прямой, проходящей через точки A, B и O.
Для нахождения точки T проведем прямую, проходящую через точки X и T, параллельную ребру SC. Так как точка T лежит на поверхности пирамиды, то эта прямая пересекает ребро SC в некоторой точке Y. Тогда точка T является серединой отрезка XY.
Теперь осталось найти длину отрезка OT. Для этого заметим, что треугольники OCE и OXY подобны, так как углы при вершине O равны (они соответственные углы при параллельных прямых). Значит, отношение длин сторон этих треугольников равно отношению длин соответствующих сторон:
$$frac{OT}{OX} = frac{OC}{OY}$$
Так как точка T является серединой отрезка XY, то OY = 2OT. Также из подобия треугольников OCE и OXY следует, что OC = 2OE. Значит,
$$frac{OT}{OX} = frac{OC}{OY} = frac{2OE}{2OT} = frac{OE}{OT}$$
Отсюда получаем, что
$$OT^2 = OE cdot OX = frac{1}{4}CE cdot OX$$
Так как точка X лежит на прямой AB, то ее координаты можно выразить через координаты точек A и B:
$$X = frac{1}{2}(A + B)$$
Также из подобия треугольников OCE и OXY следует, что
$$frac{OX}{OC} = frac{XY}{CE}$$
Значит,
$$OX = frac{XY}{CE} cdot OC = frac{XY}{4}$$
Таким образом,
$$OT^2 = frac{1}{4}CE cdot OX = frac{1}{16}CE cdot XY$$
Осталось найти длину отрезка XY. Для этого заметим, что треугольники AXY и ASC подобны, так как углы при вершине A равны (они соответственные углы при параллельных прямых). Значит, отношение длин сторон этих треугольников равно отношению длин соответствующих сторон:
$$frac{XY}{AS} = frac{AX}{AC}$$
Так как точка X является пересечением прямых AB и CO, то ее координаты можно выразить через координаты точек A, B и C:
$$X = frac{1}{2}(A + B) + t(C — frac{1}{2}(A + B))$$
где t — некоторый параметр.
Также заметим, что треугольники AOC и ABC подобны, так как углы при вершине A равны (они соответственные углы при параллельных прямых). Значит, отношение длин сторон этих треугольников равно отношению длин соответствующих сторон:
$$frac{AC}{AB} = frac{OC}{BC}$$
Отсюда следует, что
$$OC = frac{AC}{AB} cdot BC = frac{1}{sqrt{3}} cdot BC$$
Таким образом,
$$AX = frac{1}{2}(A + B) + t(C — frac{1}{2}(A + B)) — A = frac{1}{2}(B — A) + t(C — B)$$
$$AC = sqrt{(C — A)^2} = sqrt{3}BC$$
$$frac{AX}{AC} = frac{frac{1}{2}(B — A) + t(C — B)}{sqrt{3}BC}$$
Также заметим, что треугольники ABC и SBC подобны, так как углы при вершине B равны (они соответственные углы при параллельных прямых). Значит, отношение длин сторон этих треугольников равно отношению длин соответствующих сторон:
$$frac{BC}{SB} = frac{AC}{SC}$$
Отсюда следует, что
$$BC = frac{AC}{SC} cdot SB = frac{sqrt{3}}{2} cdot SB$$
Таким образом,
$$frac{AX}{AC} = frac{frac{1}{2}(B — A) + t(C — B)}{sqrt{3}BC} = frac{frac{1}{2}(B — A) + t(C — B)}{frac{sqrt{3}}{2}SB}$$
$$XY = AS cdot frac{AX}{AC} = frac{1}{2}SB cdot frac{frac{1}{2}(B — A) + t(C — B)}{frac{sqrt{3}}{2}SB} = frac{1}{sqrt{3}}(B — A) + tfrac{2 — sqrt{3}}{sqrt{3}}(C — B)$$
Таким образом,
$$OT^2 = frac{1}{16}CE cdot XY = frac{1}{16} cdot 8 cdot (frac{1}{sqrt{3}}(B — A) + tfrac{2 — sqrt{3}}{sqrt{3}}(C — B))$$
Осталось найти параметр t. Для этого заметим, что точка X лежит на прямой AB, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой AB:
$$X = A + s(B — A)$$
где s — некоторый параметр. Подставим сюда выражение для X:
$$frac{1}{2}(A + B) + t(C — frac{1}{2}(A + B)) = A + s(B — A)$$
Отсюда получаем, что
$$t = frac{2s — 1}{2s — 2}$$
Таким образом,
$$OT^2 = frac{1}{16} cdot 8 cdot (frac{1}{sqrt{3}}(B — A) + frac{2s — 1}{2s — 2}frac{2 — sqrt{3}}{sqrt{3}}(C — B))$$
$$OT^2 = frac{1}{2}(frac{1}{sqrt{3}}(B — A) + frac{2s — 1}{2s — 2}frac{2 — sqrt{3}}{sqrt{3}}(C — B))$$
Осталось найти параметр s. Для этого заметим, что точка Y лежит на ребре SC, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой SC:
$$Y = S + r(C — S)$$
где r — некоторый параметр. Подставим сюда выражение для Y:
$$Y = X + frac{1}{2}(C — X) = frac{1}{2}(A + B) + t(C — frac{1}{2}(A + B)) + frac{1}{2}(C — frac{1}{2}(A + B))$$
$$Y = frac{1}{2}(A + B + C) + tfrac{3 — sqrt{3}}{2}(C — frac{1}{2}(A + B))$$
Отсюда получаем, что
$$r = frac{SY}{SC} = frac{SY}{sqrt{(C — S)^2}} = frac{SY}{sqrt{3}SC} = frac{2}{3 — sqrt{3}}t = frac{2(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}$$
Таким образом,
$$OT^2 = frac{1}{2}(frac{1}{sqrt{3}}(B — A) + frac{2s — 1}{2s — 2}frac{2 — sqrt{3}}{sqrt{3}}(C — B)) = frac{1}{2}(frac{1}{sqrt{3}}(B — A) + frac{2(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}frac{2 — sqrt{3}}{sqrt{3}}(C — B))$$
$$OT^2 = frac{1}{2}(frac{1}{sqrt{3}}(B — A) + frac{4(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}(C — B))$$
Осталось найти длины ребер пирамиды. Так как SABC — правильная треугольная пирамида, то ее ребра равны. Обозначим длину ребра как a. Тогда
$$AB = a, AC = sqrt{2}a, BC = asqrt{3}$$
Также заметим, что треугольники ABC и SBC подобны, так как углы при вершине B равны (они соответственные углы при параллельных прямых). Значит, отношение длин сторон этих треугольников равно отношению длин соответствующих сторон:
$$frac{BC}{SB} = frac{AC}{SC}$$
Отсюда следует, что
$$SB = frac{AC}{BC} cdot SC = frac{sqrt{2}}{asqrt{3}} cdot frac{asqrt{6}}{3} = frac{sqrt{2}}{3}$$
Таким образом,
$$OT^2 = frac{1}{2}(frac{1}{sqrt{3}}(B — A) + frac{4(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}(C — B)) = frac{1}{2}(frac{1}{sqrt{3}}(a — frac{a}{2}ssqrt{3}) + frac{4(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}(frac{asqrt{2}}{2}))$$
$$OT^2 = frac{1}{2}(frac{a}{2sqrt{3}}(2 — ssqrt{3}) + frac{2(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}(asqrt{2}))$$
Осталось решить уравнение относительно s и подставить найденное значение в выражение для OT:
$$frac{a}{2sqrt{3}}(2 — ssqrt{3}) + frac{2(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}(asqrt{2}) = 0$$
$$frac{a}{2sqrt{3}}(2 — ssqrt{3}) = -frac{2(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}(asqrt{2})$$
$$frac{2 — ssqrt{3}}{2s — 2} = -frac{4(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}$$
$$frac{2 — ssqrt{3}}{2s — 2} = -frac{8s — 4}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}$$
$$(2 — ssqrt{3})(3 — sqrt{3}) = -(8s — 4)(2s — 2)$$
$$6 — 5ssqrt{3} + 3s — 3sqrt{3} = -16s^2 + 24s — 8$$
$$16s^2 — (3 + 5sqrt{3})s + 2sqrt{3} — 6 = 0$$
$$s = frac{3 + 5sqrt{3} pm sqrt{(3 + 5sqrt{3})^2 — 4 cdot 16 cdot (2sqrt{3} — 6)}}{32}$$
$$s = frac{3 + 5sqrt{3} pm sqrt{16sqrt{3} + 49}}{32}$$
Так как s должно быть меньше 1 (так как точка X лежит на отрезке AB), то подходит только решение со знаком минус:
$$s = frac{3 + 5sqrt{3} — sqrt{16sqrt{3} + 49}}{32} approx 0.276$$
Теперь можем найти длину отрезка OT:
$$OT^2 = frac{1}{2}(frac{a}{2sqrt{3}}(2 — ssqrt{3}) + frac{2(2s — 1)}{(2s — 2)(3 — sqrt{3})}(asqrt{2}))$$
$$OT^2 = frac{1}{2}(frac{a}{2sqrt{3}}(2 — 0.276sqrt{3}) + frac{2(2 cdot 0.276 — 1)}{(2 cdot 0.276 — 2)(3 — sqrt{3})}(asqrt{2}))$$
$$OT approx 2.23$$
Ответ: длина отрезка OT примерно равна 2.23 см.
