Вопрос школьника
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4√3, а боковое ребро равно 5. Найдите площадь боковой поверхности и объем этой пирамиды.
Ответ от учителя
Для начала найдем высоту треугольной пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной стороны основания. По теореме Пифагора:
$$(text{высота})^2 = (text{боковое ребро})^2 — (text{половина стороны основания})^2 = 5^2 — (2sqrt{3})^2 = 25 — 12 = 13$$
Отсюда высота равна:
$$h = sqrt{13}$$
Теперь можем найти площадь боковой поверхности. Она равна сумме площадей боковых треугольников. Площадь одного треугольника равна половине произведения стороны основания на высоту, то есть:
$$S_{text{треугольника}} = frac{1}{2} cdot 4sqrt{3} cdot sqrt{13} = 2sqrt{39}$$
Так как в пирамиде четыре боковых треугольника, то площадь боковой поверхности равна:
$$S_{text{бок}} = 4 cdot S_{text{треугольника}} = 8sqrt{39}$$
Наконец, найдем объем пирамиды. Он равен трети произведения площади основания на высоту, то есть:
$$V = frac{1}{3} cdot frac{16sqrt{3}}{4} cdot sqrt{13} = frac{16sqrt{39}}{3}$$
Ответ: площадь боковой поверхности равна $8sqrt{39}$, объем пирамиды равен $frac{16sqrt{39}}{3}$.
