Вопрос школьника
В правильной треугольной призме ABC1B1C1 через вершины B1, C1 и точку D на ребре AA1 (AD ‘: DA1 = 2:3) проведены прямые, пересекающие плоскость основания в точках T и E (рис. 97). Вычислите длину отрезка TE, если АВ = 9 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора для треугольников и пропорции.
Обозначим длину ребра призмы как a. Так как треугольник ABC1 является прямоугольным, то по теореме Пифагора имеем:
AC1 = BC1 = √(AB² + BC²) = √(9² + a²)
Также заметим, что треугольники ADB1 и AD’C1 подобны с коэффициентом 2:3, поэтому имеем:
AD’ = 2AD, DA1 = 3AD
Теперь рассмотрим треугольник B1TE. Он также является прямоугольным, поэтому по теореме Пифагора имеем:
B1T² + TE² = BE²
Заметим, что треугольники B1ET и C1EA подобны с коэффициентом BT:EC, который равен соотношению сторон треугольников ADB1 и AD’C1:
BT:EC = AD:AD’ = 1:2
Таким образом, имеем:
BT = (1/3)BE, EC = (2/3)BE
Подставляя это в уравнение для треугольника B1TE, получаем:
B1T² + TE² = (BE/3)² + (2BE/3)² = (5/9)BE²
Также заметим, что треугольники ABC1 и ADB1 подобны с коэффициентом AC1:AD, который равен 3:2. Поэтому имеем:
AC1:AD = 3:2
AC1 = √(9² + a²), AD = (2/5)AA1 = (4/5)AD’
Подставляя это в пропорцию, получаем:
√(9² + a²):(4/5)AD’ = 3:2
Отсюда находим AD’:
AD’ = (2/5)√(9² + a²)
Теперь можем выразить BE через AD’:
BE = AC1 — AD’ = √(9² + a²) — (2/5)√(9² + a²) = (3/5)√(9² + a²)
Подставляя это в уравнение для треугольника B1TE, получаем:
B1T² + TE² = (5/9)(3/5)²(9² + a²) = (1/3)(9² + a²)
Таким образом, имеем:
TE = √((1/3)(9² + a²) — B1T²)
Осталось найти длину B1T. Заметим, что треугольники B1AD’ и B1C1E подобны с коэффициентом B1D’:C1E, который равен соотношению сторон треугольников ADB1 и AD’C1:
B1D’:C1E = AD:AD’ = 2:5
Таким образом, имеем:
B1D’ = (2/7)BD, C1E = (5/7)BE
Заметим также, что треугольники B1BD’ и C1BE подобны с коэффициентом B1D’:C1E, поэтому имеем:
B1D’:C1E = BD:BE = 1:2
Отсюда находим:
BD = 2B1D’ = (4/7)B1D’, BE = (7/4)BD = (7/4)(4/7)B1D’ = B1D’
Таким образом, B1T = B1D’ — DT, где DT = AD — AT. Заметим, что треугольники ADB1 и ABC1 подобны с коэффициентом AD:AC1, который равен 2:3. Поэтому имеем:
AD:AC1 = 2:3
AD = (2/5)AA1 = (4/5)AD’, AC1 = √(9² + a²)
Отсюда находим:
AT = (3/5)AC1 = (3/5)√(9² + a²)
DT = AD — AT = (1/5)AD’ — (3/5)AC1 = (1/5)√(9² + a²)
Теперь можем выразить B1T через B1D’:
B1T = B1D’ — DT = (6/7)B1D’ — (1/5)√(9² + a²)
Заметим, что треугольники B1BD’ и ABC1 подобны с коэффициентом B1D’:AC1, который равен 2:3. Поэтому имеем:
B1D’:AC1 = 2:3
B1D’ = (2/5)BD = (2/5)a, AC1 = √(9² + a²)
Отсюда находим:
B1T = (6/7)(2/5)a — (1/5)√(9² + a²) = (12/35)a — (1/5)√(9² + a²)
Теперь можем выразить TE через a:
TE = √((1/3)(9² + a²) — B1T²) = √((1/3)(9² + a²) — ((12/35)a — (1/5)√(9² + a²))²) = √(81/35 — (24/35)a + (1/25)(9² + a²))
Таким образом, длина отрезка TE равна √(81/35 — (24/35)a + (1/25)(9² + a²)).
