Вопрос школьника
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Точка O — точка пересечения медиан грани ABC. Найдите длину расположенного внутри призмы отрезка прямой, проходящей через середину отрезка A1O и параллельной прямой CO, если площадь ее боковой поверхности равна S.
Ответ от учителя
Пусть $AB=BC=CA=a$, $AA_1=BB_1=CC_1=h$ и $OA_1=OB_1=OC_1=x$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $h=asqrt{3}/2$. Также заметим, что точка $O$ является центром масс треугольника $ABC$, поэтому $OA_1=OB_1=OC_1=x=h/3$.
Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $A_1$, $O$ и $C$. Так как отрезок $A_1O$ делит медиану $CC_1$ пополам, то точка $M$, являющаяся серединой отрезка $A_1O$, лежит на высоте $h/3$ относительно грани $ABC$. Также заметим, что прямая $CO$ проходит через точку $M$.
Пусть $N$ — середина отрезка $CC_1$. Тогда $MN=NC/3=h/6$. Так как прямая $CO$ параллельна плоскости $A_1OC$, то она проходит на расстоянии $h/6$ от точки $M$. Таким образом, расстояние между прямыми $A_1M$ и $CO$ равно $h/6$.
Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $A_1$, $M$ и $C$. Она пересекает боковую поверхность призмы по прямоугольнику со сторонами $A_1M$ и $CC_1$. Площадь этого прямоугольника равна $S/2$ (так как боковая поверхность призмы состоит из двух равных прямоугольников).
Таким образом, длина отрезка прямой, проходящей через середину отрезка $A_1O$ и параллельной прямой $CO$, равна $h/6$, а площадь прямоугольника, образованного пересечением этой прямой с боковой поверхностью призмы, равна $S/2$.
