Вопрос школьника
В правильной треугольной призме, боковыми гранями которой являются квадраты, найдите угол между пересекающимися диагоналями боковых граней.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам нужно вспомнить, что в правильной треугольной призме все боковые грани являются равными квадратами, а основание призмы — правильный треугольник. Также нам понадобится знание о том, что диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника.
Пусть сторона основания треугольной призмы равна a, а высота призмы равна h. Тогда диагональ квадрата, являющегося боковой гранью призмы, равна a√2 (по теореме Пифагора), а диагональ основания треугольника равна 2a (так как это правильный треугольник).
Теперь рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через две противоположные вершины основания и центр боковой грани. Это сечение будет являться равнобедренным треугольником со сторонами a, a√2 и a√2. Угол между диагоналями этого треугольника можно найти с помощью теоремы косинусов:
cos(угол) = (a^2 + (a√2)^2 — (a√2)^2) / (2a(a√2))
cos(угол) = (a^2 — a^2) / (2a(a√2))
cos(угол) = 0
угол = 90 градусов
Таким образом, угол между пересекающимися диагоналями боковых граней правильной треугольной призмы равен 90 градусов.
