Вопрос школьника
В правильной треугольной призме расстояние от центра нижнего основания до вершины верхнего основания равно √3. Какова должна быть её высота, чтобы объём призмы был наибольшим?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для объема правильной треугольной призмы:
V = (1/3) * S * h,
где V — объем призмы, S — площадь основания, h — высота призмы.
Также нам известно, что расстояние от центра нижнего основания до вершины верхнего основания равно √3. Обозначим эту величину как d.
Для начала найдем площадь основания призмы. Поскольку призма правильная, то ее основание — правильный треугольник. Рассмотрим одну из его сторон. Пусть ее длина равна a. Тогда по теореме Пифагора:
a^2 + (d/2)^2 = (2d/3)^2,
a^2 + d^2/4 = 4d^2/9,
a^2 = 5d^2/9,
a = d*sqrt(5)/3.
Таким образом, площадь основания призмы равна:
S = (sqrt(3)/4) * a^2 = (5sqrt(3)/36) * d^2.
Теперь можем выразить высоту призмы через ее объем:
h = 3V / S.
Подставляя сюда выражение для S, получаем:
h = 3V / ((5sqrt(3)/36) * d^2) = (108/5sqrt(3)) * (V/d^2).
Таким образом, чтобы объем призмы был наибольшим, необходимо максимизировать выражение V/d^2. Поскольку V и d^2 положительны, то это эквивалентно максимизации самого объема V.
Таким образом, чтобы найти высоту призмы, при которой ее объем будет наибольшим, нам нужно решить задачу оптимизации:
максимизировать V = (1/3) * S * h = (1/3) * (5sqrt(3)/36) * d^2 * ((108/5sqrt(3)) * (V/d^2)),
то есть:
максимизировать V = (36/5) * (d^2 * V) / 3.
Отсюда следует, что V должно быть пропорционально d^2. Таким образом, чтобы максимизировать объем призмы, нужно выбрать такую высоту, при которой расстояние от центра нижнего основания до вершины верхнего основания будет максимальным. Из геометрических соображений легко видеть, что это происходит, когда высота призмы равна d, то есть:
h = √3.
Таким образом, чтобы объем призмы был наибольшим, ее высота должна быть равна √3.
