Вопрос школьника
В правильном восьмиугольнике, длина стороны которого равна а, последовательно соединили середины четырех сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося при этом квадрата.
Ответ от учителя
Для решения задачи можно использовать свойство правильного восьмиугольника, согласно которому каждый угол равен 135 градусам.
Рассмотрим одну из четырех сторон, через которую проходит соединяющая ее середины линия. Обозначим ее длину как b. Так как восьмиугольник правильный, то все стороны равны между собой и равны a.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный двумя соседними сторонами восьмиугольника и линией, соединяющей их середины. Этот треугольник является прямоугольным, так как один из углов равен 90 градусам (угол между сторонами восьмиугольника) и два других угла равны по 22,5 градусов (половина угла восьмиугольника).
Из этого треугольника можно найти длину гипотенузы, которая равна a (длина стороны восьмиугольника), а длину катета, который равен b/2 (половина длины стороны, через которую проходит линия).
Теперь мы можем применить теорему Пифагора:
a^2 = (b/2)^2 + (b/2)^2
a^2 = 2(b/2)^2
a^2 = b^2/2
b^2 = 2a^2
b = a*sqrt(2)/2
Таким образом, длина стороны квадрата, образованного соединением середин четырех сторон восьмиугольника, равна b, то есть a*sqrt(2)/2.
