Вопрос школьника
В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно использовать формулу Эйлера для плоских графов: F = E — V + 2, где F — количество граней, E — количество ребер, V — количество вершин.
В данном случае каждая пара прямых задает ребро, а каждая плоскость задает грань. Таким образом, количество ребер равно числу сочетаний из n по 2: E = C(n,2) = n(n-1)/2. Количество вершин равно n. Осталось найти количество граней.
Заметим, что каждая грань образуется пересечением трех ребер. При этом никакие три ребра не могут пересекаться в одной точке, иначе три прямые лежали бы в одной плоскости. Таким образом, каждая грань образуется пересечением трех ребер, никакие две грани не могут иметь общих ребер, и каждое ребро принадлежит ровно двум граням.
Из этого следует, что количество граней равно половине суммы степеней вершин. Степень каждой вершины равна количеству ребер, проходящих через нее, то есть n-1. Таким образом, количество граней равно (n-1)*n/2.
Подставляя найденные значения в формулу Эйлера, получаем:
F = (n-1)*n/2 — n + 2 = n(n-3)/2 + 2.
Ответ: можно провести F = n(n-3)/2 + 2 плоскости.
