Вопрос школьника
В пространстве даны точки А, В, С и D. Известно, что АВ = ВС = 25, AD = DC= 39, АС =30, BD = 56. Докажите, что данные точки лежат в одной плоскости.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, можно воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах.
Согласно этой теореме, если из точки пересечения двух пересекающихся прямых опустить перпендикуляры на третью прямую, то эти перпендикуляры будут пересекаться в одной точке, если и только если все три прямые лежат в одной плоскости.
Применяя эту теорему к точкам А, В, С и D, можно провести следующие перпендикуляры:
— из точки А на прямую BD
— из точки В на прямую AC
— из точки С на прямую BD
— из точки D на прямую AC
Для того чтобы доказать, что все эти перпендикуляры пересекаются в одной точке, достаточно показать, что они все перпендикулярны соответствующим прямым.
Рассмотрим, например, перпендикуляр из точки А на прямую BD. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой BD как E. Тогда треугольник ABE является прямоугольным, так как AB и BD являются сторонами квадрата, а значит, AE является высотой этого треугольника. Также из условия задачи известно, что BD = 56, а AB = 25, поэтому по теореме Пифагора получаем:
AE^2 + BE^2 = AB^2
AE^2 + (56 — BD)^2 = 25^2
AE^2 + 31^2 = 625
AE^2 = 625 — 961
AE^2 = -336
Так как AE является длиной отрезка, то она не может быть отрицательной. Значит, мы получили противоречие, и перпендикуляр из точки А на прямую BD не может быть проведен. Аналогично можно показать, что невозможно провести перпендикуляры из точек В, С и D на соответствующие прямые.
Таким образом, мы доказали, что все перпендикуляры, проведенные из точек А, В, С и D на соответствующие прямые, не пересекаются в одной точке. Следовательно, все три прямые не лежат в одной плоскости, и точки А, В, С и D не могут лежать в одной плоскости.
