Вопрос школьника
В пространстве расположены четыре точки А, В, С и D. Известно, что АВ = AD = 15, ВС = 7, CD = 25, АС = 20, BD = 24. Докажите, что данные точки лежат в одной плоскости.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, необходимо показать, что они удовлетворяют условию, что сумма векторных произведений любых трех векторов, образованных этими точками, равна нулю.
Вектор AB можно найти как разность координат точек A и B: AB = A — B. Аналогично, вектор AD = A — D, вектор BC = B — C, вектор CD = C — D, вектор AC = A — C и вектор BD = B — D.
Теперь найдем векторное произведение трех векторов, образованных точками А, В и С: AB x AC = (A — B) x (A — C). Раскроем скобки и получим:
AB x AC = (A x A) — (A x C) — (B x A) + (B x C)
Заметим, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулю, поэтому первое слагаемое равно нулю. Также заметим, что векторное произведение вектора на вектор, параллельный ему, также равно нулю, поэтому второе и третье слагаемые также равны нулю. Остается только четвертое слагаемое:
AB x AC = B x C
Аналогично, найдем векторные произведения трех векторов, образованных точками А, В и D, А, С и D, и В, С и D:
AD x AB = D x B
AC x AD = C x D
BC x BD = (B — C) x (B — D) = B x D — C x B
Теперь найдем сумму этих векторных произведений:
(AB x AC) + (AD x AB) + (AC x AD) + (BC x BD) = B x C + D x B + C x D + B x D — C x B
Заметим, что векторы B x C и C x B равны по модулю, но противоположны по направлению, поэтому их сумма равна нулю. Также заметим, что векторы D x B и B x D равны по модулю, но противоположны по направлению, поэтому их сумма также равна нулю. Остается только слагаемое C x D:
(AB x AC) + (AD x AB) + (AC x AD) + (BC x BD) = C x D
Таким образом, сумма векторных произведений любых трех векторов, образованных точками А, В, С и D, равна нулю, что и означает, что эти точки лежат в одной плоскости.
