Вопрос школьника
В прямоугольнике ABCD AB = 2, BC = √3. Точка Е на прямой АВ выбрана так, что ∠AED = ∠DEC. Найдите АЕ.
Ответ от учителя
Построим прямую, проходящую через точки D и E, и обозначим точку пересечения этой прямой с прямой BC как F.
Так как углы AED и DEC равны, то треугольники AED и CDE подобны. Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих высот:
$frac{AE}{CD} = frac{DE}{CE}$
Так как CD = AB = 2, а DE = EF — DF, то
$frac{AE}{2} = frac{EF — DF}{CE}$
Также заметим, что треугольник BCF является равносторонним, так как BC = √3, а BF = FC (так как F лежит на биссектрисе угла BCD). Значит, CE = CF = BF = √3.
Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получаем:
$frac{AE}{2} = frac{EF — DF}{sqrt{3}}$
Также заметим, что треугольник AEF является прямоугольным, так как угол AEF является вписанным углом, а угол в центре (угол BCD) равен 120 градусам. Значит, по теореме Пифагора:
$AE^2 + EF^2 = AF^2$
Также заметим, что треугольник BDF является прямоугольным, так как угол BDF является вписанным углом, а угол в центре (угол BCD) равен 120 градусам. Значит, по теореме Пифагора:
$BD^2 + DF^2 = BF^2$
Так как BD = AB = 2, а BF = √3, то
$4 + DF^2 = 3$
$DF^2 = -1$
Это невозможно, значит, наша исходная предпосылка о том, что точка E лежит на прямой AB, неверна. Значит, точка E должна лежать на продолжении отрезка AB за точку B.
Пусть точка E’ лежит на продолжении отрезка AB за точку B. Тогда угол AED’ является внешним углом треугольника CDE’, и по свойству внешнего угла:
$angle AED’ = angle CDE’ + angle CED’$
Так как треугольник CDE’ равнобедренный (CE’ = DE’), то угол CDE’ равен 60 градусам. Значит,
$angle AED’ = 60^circ + angle CED’$
Также заметим, что треугольник BEE’ является равносторонним, так как BE = BE’. Значит, угол BEE’ равен 60 градусам.
Таким образом, угол AEB равен 120 градусам, и треугольник AEB является равносторонним. Значит, AE = AB = 2.
