Вопрос школьника
В прямоугольнике ABCD диагональ АС в два раза больше стороны CD. Чему равна градусная мера угла COD, где О — точка пересечения диагоналей прямоугольника?
Ответ от учителя
Пусть сторона CD равна x, тогда диагональ AC равна 2x. Рассмотрим треугольник AOC. Он является прямоугольным, так как лежит в прямоугольнике ABCD, и у него гипотенуза AC равна 2x. По теореме Пифагора получаем:
AC^2 = AO^2 + OC^2
(2x)^2 = AO^2 + x^2
4x^2 = AO^2 + x^2
3x^2 = AO^2
Теперь рассмотрим треугольник COD. Он также является прямоугольным, так как лежит в прямоугольнике ABCD, и у него катеты равны AO и OC. Из предыдущего уравнения мы знаем, что AO^2 = 3x^2, поэтому:
tan(COD) = OC / AO = x / sqrt(3x^2) = 1 / sqrt(3)
COD = arctan(1 / sqrt(3)) ≈ 30°
Ответ: градусная мера угла COD равна примерно 30°.
