Вопрос школьника
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, точка Т — середина стороны AD (рис. 62, а). Докажите, что четырехугольник TOCD — трапеция, и найдите ее высоту, если АС = а и угол BCA = 60°.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырехугольник TOCD является трапецией, нужно показать, что его боковые стороны (TO и CD) параллельны друг другу.
Рассмотрим треугольник AOC. Так как угол BCA = 60°, то угол ACO = 90° — 60°/2 = 75°. Аналогично, угол OCA = 75°. Таким образом, треугольник AOC является равнобедренным, и его биссектриса OC является высотой, опущенной на сторону AC.
Так как точка Т является серединой стороны AD, то TO является медианой треугольника AOD, а значит, делит его на две равные части. Таким образом, OT = TD.
Рассмотрим теперь треугольник OCD. Так как OC является биссектрисой угла ACO, то угол OCB = 75°/2 = 37.5°. Аналогично, угол OCD = 37.5°. Таким образом, углы OCB и OCD равны, а значит, стороны CD и OB параллельны друг другу.
Таким образом, мы доказали, что боковые стороны TO и CD четырехугольника TOCD параллельны друг другу, а значит, он является трапецией.
Чтобы найти высоту этой трапеции, рассмотрим треугольник OCB. Так как угол BCA = 60°, то угол BCO = 90° — 60°/2 = 75°. Аналогично, угол BOC = 75°. Таким образом, треугольник OCB является равнобедренным, и его биссектриса OC является высотой, опущенной на сторону BC.
Так как BC является основанием трапеции TOCD, то высота этой трапеции равна высоте треугольника OCB, то есть высоте, опущенной на сторону BC.
Рассмотрим треугольник ABC. Так как угол BCA = 60°, то угол BAC = 180° — 60° — 90° = 30°. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, и его биссектриса AB является высотой, опущенной на сторону BC.
Таким образом, высота трапеции TOCD равна высоте треугольника ABC, то есть AB = а.
Итак, мы доказали, что четырехугольник TOCD является трапецией, а его высота равна стороне прямоугольника ABCD, равной а.
