Вопрос школьника
В прямоугольнике ABCD проведены отрезки MK // AD, NP // AB (рис. 154). Докажите, что площадь четырехугольника MNKP равна 1/2 площади прямоугольника ABCD.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством параллелограмма: площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону.
Пусть сторона AB прямоугольника ABCD равна a, а сторона AD равна b. Тогда высота параллелограмма MNKP, опущенная на сторону NP, равна b (так как NP параллельна стороне AD и расстояние между ними равно b). Аналогично, высота параллелограмма MNKP, опущенная на сторону MK, равна a.
Таким образом, площадь параллелограмма MNKP равна произведению длины его сторон на высоту, то есть:
S(MNKP) = NP * a = MK * b
Теперь рассмотрим площадь прямоугольника ABCD. Она равна произведению длины его сторон, то есть:
S(ABCD) = a * b
Заметим, что параллелограмм MNKP можно разбить на два треугольника: MNP и KNP. Площадь каждого из этих треугольников равна половине площади параллелограмма MNKP, то есть:
S(MNP) = S(KNP) = 1/2 * S(MNKP)
Тогда площадь четырехугольника MNKP равна сумме площадей треугольников MNP и KNP:
S(MNKP) = S(MNP) + S(KNP) = 1/2 * S(MNKP) + 1/2 * S(MNKP) = S(ABCD) / 2
Таким образом, мы доказали, что площадь четырехугольника MNKP равна половине площади прямоугольника ABCD.
