Вопрос школьника
В прямоугольнике ABCD сторона АВ равна 12 см, а диагональ BD образует со стороной АВ угол в 60°. Найдите диагональ АС
Ответ от учителя
Для решения задачи можно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим длину диагонали BD как c, а длину стороны BC как a. Тогда по теореме косинусов для треугольника ABD:
c^2 = 12^2 + a^2 — 2*12*a*cos(60°)
Учитывая, что cos(60°) = 1/2, получаем:
c^2 = 144 + a^2 — 12a
Аналогично, для треугольника BCD:
c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2
Сравнивая два выражения для c^2, получаем:
144 + a^2 — 12a = 2a^2
a^2 — 12a + 144 = 0
Решая квадратное уравнение, получаем:
a = 6
Теперь можем найти длину диагонали AC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 6^2 = 180
AC = sqrt(180) = 6*sqrt(5) см
Ответ: диагональ АС равна 6*sqrt(5) см.
