Вопрос школьника
В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС угол А = угол В = 90°, угол ACD = 90°, ВС = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы С и D трапеции.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что трапеция ABCD является прямоугольной, то есть углы А и В равны 90°. Также известно, что угол ACD равен 90°, что означает, что треугольник ACD является прямоугольным.
Из прямоугольного треугольника ACD можно найти гипотенузу AC, используя теорему Пифагора:
AC² = AD² + CD²
AC² = 16² + CD²
AC² = 256 + CD²
AC = √(256 + CD²)
Также из прямоугольного треугольника ACD можно найти угол С, используя тангенс угла:
tan(C) = CD/AD
tan(C) = CD/16
CD = 16*tan(C)
Из трапеции ABCD известно, что ВС = 4 см. Так как угол А = угол В = 90°, то ВС является высотой трапеции. Используя формулу для площади трапеции, можно найти длину боковой стороны CD:
S = (AD + BC)*h/2
BC = 2*S/h — AD
BC = 2*(AD + BC)*4/2 — AD
BC = 8 + 2*BC — AD
BC = 8 + 2*BC — 16
BC = -8
Таким образом, получаем, что длина боковой стороны CD равна 8 см.
Используя найденные значения AC и CD, можно найти угол D, используя тангенс угла:
tan(D) = CD/AC
tan(D) = 8/√(256 + CD²)
CD² = (16*tan(C))² = 256*tan²(C)
tan(D) = 8/√(256 + 256*tan²(C))
tan(D) = 8/16√(1 + tan²(C))
tan(D) = 1/2√(1 + tan²(C))
D = arctan(1/2√(1 + tan²(C)))
Таким образом, найдены углы С и D трапеции.
