Вопрос школьника
В прямоугольной трапеции ABCD (ВС || AD, CD _I_ AD) диагональ АС является биссектрисой угла ВAD. Найдите большее основание трапеции, если АВ = 53 см CD = 45 см.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения диагоналей трапеции обозначена буквой O. Так как диагональ АС является биссектрисой угла ВAD, то угол ВОС равен углу ВОА. Также угол ВОС равен углу СОD, так как это вертикальные углы. Из этих двух равенств следует, что угол ВОА равен углу СОD.
Так как ВС || AD, то угол ВОА равен углу BCD, так как это соответственные углы. Таким образом, угол BCD также равен углу СОD.
Из равенства углов следует, что треугольники ВОА и СОD подобны. Так как АВ = 53 см, а CD = 45 см, то отношение сторон треугольников ВОА и СОD равно 53/45.
Пусть основания трапеции равны BC = x и AD = y. Тогда из подобия треугольников ВОА и СОD следует, что
x/y = 53/45
Отсюда
x = (53/45)y
Так как ВС || AD, то треугольники ВОС и АОD подобны. Таким образом,
OC/OD = BC/AD = x/y
Отсюда
OC = (x/y)OD = (53/45)OD
Так как ОС является биссектрисой угла ВОА, то
OC/OD = AB/BD
Отсюда
(53/45)OD/OD = AB/(AB + x)
Отсюда
AB = x(53/45) = (53/45)^2 y
Таким образом, большее основание трапеции равно
AB = (53/45)^2 AD ≈ 87.6 см.
