Вопрос школьника
В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1:8. Найдите основания трапеции и её площадь.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны a и b, где a — меньшее основание, а b — большее основание. Также обозначим высоту трапеции через h.
Из условия задачи известно, что угол между боковой стороной и большим основанием равен 135°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол между боковой стороной и меньшим основанием равен 45°.
Таким образом, мы можем разбить трапецию на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых известны гипотенуза (средняя линия) и один из острых углов (45°). Из этого можно найти катеты треугольников:
a/2 = 18/√2 => a = 36/√2
b/2 = 8a/√2 => b = 16a/√2 = 576/√2
Теперь мы можем найти высоту трапеции, используя теорему Пифагора в одном из прямоугольных треугольников:
h^2 = (b/2)^2 — (a/2)^2 = (576/√2)^2 — (36/√2)^2 = 31104 — 1296 = 29808
h = √29808 ≈ 172.6
Таким образом, мы нашли все стороны трапеции: a = 36/√2 ≈ 25.5, b = 576/√2 ≈ 407.4, h ≈ 172.6.
Наконец, мы можем найти площадь трапеции, используя формулу:
S = (a + b)h/2 = (36/√2 + 576/√2) * 172.6/2 ≈ 22128.5
Ответ: меньшее основание трапеции равно a ≈ 25.5 см, большее основание равно b ≈ 407.4 см, площадь трапеции равна S ≈ 22128.5 см^2.
