Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C — прямой) проведена высота CD. Докажите, что если ∠BAC = 30°, то АВ : BD = 4 : 1.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о высоте в прямоугольном треугольнике.
Из условия задачи известно, что ∠BAC = 30°. Также, так как треугольник ABC прямоугольный, то ∠ACB = 90°. Значит, ∠ABC = 60°.
Рассмотрим треугольник ABD. Так как CD является высотой, то ∠ACD = 90°. Также, так как треугольник ABC прямоугольный, то ∠BCD = 90°. Значит, треугольник ACD также является прямоугольным.
Таким образом, мы получили два прямоугольных треугольника: ABC и ACD. Рассмотрим их подробнее.
В треугольнике ABC мы знаем, что ∠ABC = 60°. Значит, ∠ABD = 90° — 60° = 30°. Также, так как треугольник ABD прямоугольный, то ∠ADB = 90° — 30° = 60°.
В треугольнике ACD мы знаем, что ∠ACD = 90°. Также, так как треугольник ACD прямоугольный, то ∠ADC = 90° — ∠CAD.
Но мы знаем, что ∠BAC = 30°. Значит, ∠CAD = 60° — 30° = 30°. Таким образом, ∠ADC = 90° — 30° = 60°.
Таким образом, мы получили, что ∠ADB = ∠ADC = 60°. Значит, треугольники ABD и ADC подобны.
Теперь мы можем воспользоваться свойством подобных треугольников: соответствующие стороны пропорциональны.
Так как треугольники ABD и ADC подобны, то:
AB : AD = AD : AC
AB * AC = AD^2
Также, так как треугольник ABC прямоугольный, то:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AB^2 = AC^2 — BC^2
AB^2 = (AD + DC)^2 — BC^2
AB^2 = AD^2 + 2AD * DC + DC^2 — BC^2
AB^2 = AD^2 + (2AD * DC + DC^2 — BC^2)
Но мы знаем, что треугольники ABD и ADC подобны. Значит, соответствующие стороны пропорциональны:
AD : AC = BD : DC
AD * DC = AC * BD
Таким образом, мы можем заменить AD * DC в формуле для AB^2:
AB^2 = AD^2 + (2AD * DC + DC^2 — BC^2)
AB^2 = AD^2 + (2AC * BD — BC^2)
AB^2 = AD^2 + 2AC * BD — BC^2
Но мы знаем, что BC = AB / 2 (так как ∠ABC = 60°). Значит:
AB^2 = AD^2 + 2AC * BD — (AB^2 / 4)
AB^2 + AB^2 / 4 = AD^2 + 2AC * BD
5AB^2 / 4 = AD^2 + 2AC * BD
AB^2 = 4/5 * (AD^2 + 2AC * BD)
AB = 2/√5 * √(AD^2 + 2AC * BD)
Таким образом, мы получили выражение для стороны AB через стороны AD и BD.
Но мы знаем, что ∠BAC = 30°. Значит, треугольник ABD является треугольником 30-60-90. В таком треугольнике соотношение сторон равно:
AB : AD : BD = √3 : 1 : 2
Значит, AB = √3 * AD / 1 = √3 * AD.
Таким образом, мы можем записать:
√3 * AD = 2/√5 * √(AD^2 + 2AC * BD)
3AD^2 = 8/5 * (AD^2 + 2AC * BD)
15AD^2 = 8AD^2 + 16AC * BD
7AD^2 = 16AC * BD
AD^2 / BD = 16/7 * AC
AB^2 / BD^2 = 3
AB / BD = √3
Таким образом, мы доказали, что если ∠BAC = 30°, то АВ : BD = 4 : 1.
