Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена биссектриса CE. Из точки E на стороны CA и CB опущены соответственно перпендикуляры EK и EM. Найдите периметр четырехугольника KCME, если EK = 7,5 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства биссектрисы треугольника.
Из свойств биссектрисы треугольника следует, что отрезок CE делит сторону AB на две части пропорционально оставшимся сторонам треугольника. Обозначим длину отрезка CE как x, тогда:
AC/BC = AE/BE
AC/(AC+CB) = AE/(BE+AE)
AC/(AC+BC) = x/(7.5+x)
Решив уравнение относительно x, получим:
x = 7.5 * AC / BC
Теперь можем применить теорему Пифагора для нахождения длин сторон треугольника. Обозначим длины сторон как a, b и c (гипотенуза). Тогда:
a^2 + b^2 = c^2
AC^2 + BC^2 = c^2
Подставим найденное выражение для x:
AC^2 + (7.5 * AC / x)^2 = c^2
Решив уравнение относительно c, получим:
c = AC * sqrt(1 + (7.5 / x)^2)
Теперь можем найти длины отрезков EK и EM:
EK = AC * x / c
EM = BC * x / c
И, наконец, периметр четырехугольника KCME равен:
KC + CE + EM + CM = AC + BC + 2x = AC + BC + 15AC / BC
Осталось только подставить найденные значения и получить ответ.
