Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе АВ проведена высота CD. На отрезках CD и DA взяты точки Е и F так, что CE/CD=AF/AD. Докажите, что прямые BE и СЕ перпендикулярны.
Ответ от учителя
Для доказательства перпендикулярности прямых BE и СЕ нужно показать, что угол между ними равен 90 градусов. Для этого рассмотрим треугольники ABE и ACD.
Из условия задачи имеем:
CE/CD=AF/AD
Так как CD — высота, то CE и DE являются катетами прямоугольного треугольника ACD, а AF и DF — катетами прямоугольного треугольника ADF. Таким образом, получаем:
CE/CD=tg(CAD)
AF/AD=tg(DAF)
Из подобия треугольников ABE и ACD следует:
AB/AC=BE/CD
AB/AC=AE/AD
Из подобия треугольников ABE и ADF следует:
AB/AC=BE/AF
AB/AC=BE/AD-BD
Заметим, что AD-BD=CD, так как BD является проекцией точки B на гипотенузу АВ. Таким образом, получаем:
AB/AC=BE/CD
AB/AC=BE/CE
Из этих двух равенств следует:
BE/CE=CD/AC
BE/CE=sin(CAD)
Так как sin(CAD)=cos(DAE), то:
BE/CE=cos(DAE)
Из подобия треугольников ABE и ADF следует:
AB/AC=BE/AF
AB/AC=BE/BD+DF
Заметим, что BD+DF=AF, так как BD является проекцией точки B на гипотенузу АВ, а DF — проекцией точки F на гипотенузу АВ. Таким образом, получаем:
AB/AC=BE/AF
AB/AC=BE/AD-DE
Заметим, что AD-DE=CD, так как DE является проекцией точки E на гипотенузу АВ. Таким образом, получаем:
AB/AC=BE/CD
AB/AC=BE/CE
Из этих двух равенств следует:
BE/CE=CD/AC
BE/CE=sin(CAD)
Так как sin(CAD)=cos(DAE), то:
BE/CE=cos(DAE)
Таким образом, получаем:
BE/CE=cos(DAE)=sin(CAE)
Из подобия треугольников ABE и ACD следует:
AB/AC=BE/CD
AB/AC=AE/AD
Из этих двух равенств следует:
BE/CD=AE/AD
BE/CE=AE/AC
Таким образом, получаем:
BE/CE=sin(CAE)
Из этого равенства следует, что угол между прямыми BE и СЕ равен углу САЕ, который является прямым углом, так как точка Е лежит на высоте CD. Следовательно, прямые BE и СЕ перпендикулярны.
