Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике ABC с периметром 39 см провели медиану AM к гипотенузе. Найдите длину отрезка AC, учитывая, что периметр треугольника BAM равен 24 см.
Ответ от учителя
Пусть AB и BC – катеты, а AC – гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. Тогда AM – медиана, которая делит гипотенузу на две равные части. Обозначим длину AM через х.
Так как AM является медианой, то BM = MC = AC/2. Тогда периметр треугольника BAM равен:
BA + AM + BM = BA + AM + MC = AB + AC/2 + AC/2 = AB + AC.
Но по условию задачи периметр треугольника BAM равен 24 см, поэтому AB + AC = 24.
Также из условия задачи известно, что периметр треугольника ABC равен 39 см:
AB + BC + AC = 39.
Выразим AB через AC из первого уравнения:
AB = 24 — AC.
Подставим это выражение во второе уравнение:
(24 — AC) + BC + AC = 39.
Упростим:
BC = 15 — AC.
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
AB^2 + BC^2 = AC^2.
Подставим выражения для AB и BC:
(24 — AC)^2 + (15 — AC)^2 = AC^2.
Раскроем скобки и упростим:
AC^2 — 78AC + 681 = 0.
Решим квадратное уравнение:
AC = (78 ± √(78^2 — 4·681))/2 = 39 ± 9√5.
Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, то отбросим отрицательный корень:
AC = 39 + 9√5.
Ответ: длина отрезка AC равна 39 + 9√5 см.
