Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) точка О — внутренняя точка катета АС. Докажите, что АВ > ОВ > СВ.
Ответ от учителя
Для доказательства неравенства АВ > ОВ > СВ в прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) с точкой О на катете АС можно воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами треугольника.
По теореме Пифагора имеем:
AB² = AC² — BC²
OC² = AC² — AO²
SC² = BC² — SO²
Заметим, что AC² — BC² = OC² — SO², так как AO² + SO² = AC² и BO² + SO² = BC². Поэтому:
AB² — SC² = (AC² — BC²) — (BC² — SO²) = AC² — AO² — SO² = OC² — SO² = OC² — AC² + AO² = OA² — AC²
Таким образом, мы получили, что AB² — SC² = OA² — AC². Из этого следует, что если OA > AC, то AB > SC, и наоборот, если OA < AC, то AB < SC. Теперь рассмотрим треугольники AOB и SOB. Они имеют общую сторону OB и угол AOS, который является прямым, так как AS и OC являются противоположными сторонами прямоугольника AOSC. Поэтому треугольники AOB и SOB подобны. Из этого следует, что: AB/OB = OB/SB AB = OB²/SB Так как AB > SC, то OB²/SB > SC, что означает, что OB > SV. Также, так как AB > SC, то OB²/SB > AC, что означает, что OB > OA.
Таким образом, мы доказали, что АВ > ОВ > СВ.
