Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике ABC высота CF, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, длины которых относятся как 4:1. Найдите отношение площади круга, вписанного в треугольник AFC, к площади круга, вписанного в треугольник BFC.
Ответ от учителя
Пусть длина гипотенузы треугольника ABC равна c, а длины катетов равны a и b соответственно. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
a^2 + b^2 = c^2
Высота CF делит гипотенузу на отрезки длины 4x и x, где x — некоторая положительная константа. Тогда, применяя теорему Пифагора к треугольникам AFC и BFC, получаем:
(4x)^2 + b^2 = (a+x)^2
x^2 + b^2 = (c-x)^2
Решая эти уравнения относительно a и b, получаем:
a = (15x-c)/3
b = (4x^2-8cx+3c^2)^(1/2)/3
Теперь рассмотрим круги, вписанные в треугольники AFC и BFC. Пусть радиусы этих кругов равны r1 и r2 соответственно. Тогда, используя формулу для площади круга (S = πr^2), получаем:
S1 = πr1^2 = π((s-a)x/2)^2 = π((2x+c)/3)^2
S2 = πr2^2 = π((s-b)x/2)^2 = π((2x^2-4cx+3c^2)^(1/2)/6)^2
где s = (a+b+c)/2 — полупериметр треугольника ABC.
Теперь можно выразить отношение площадей кругов:
S1/S2 = ((2x+c)/3)^2 / ((2x^2-4cx+3c^2)^(1/2)/6)^2 = 4(2x+c)^2 / (2x^2-4cx+3c^2)
Осталось найти значение x, при котором это отношение будет максимальным. Для этого можно найти производную от S1/S2 по x и приравнять ее к нулю:
d(S1/S2)/dx = (8x-4c)(2x+c)^2 / (2x^2-4cx+3c^2)^(3/2) = 0
Отсюда получаем x = c/2. Подставляя это значение в выражение для S1/S2, получаем:
S1/S2 = 16/3
Таким образом, отношение площади круга, вписанного в треугольник AFC, к площади круга, вписанного в треугольник BFC, равно 16/3.
