Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике АБС (рис. 31.7) из вершины прямого угла С опущена высота СН, равная 3 см. Из точки Н опущены перпендикуляры НК и HL на катеты треугольника. Найдите расстояние между точками К и L.
Ответ от учителя
Рассмотрим катеты треугольника АБС. Пусть катет АВ равен а, а катет ВС равен b. Тогда, по теореме Пифагора, гипотенуза СА равна √(a²+b²).
Так как высота СН опущена из вершины прямого угла С, то треугольник СНА также является прямоугольным. Поэтому, применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем:
NH² + SA² = SH²
3² + (a²+b²) = (SA+HL)²
Также заметим, что треугольники СНК и СНЛ также являются прямоугольными, поэтому:
NK² + HK² = NH²
NL² + HL² = NH²
Сложим эти два уравнения:
NK² + NL² + HK² + HL² = 2NH²
NK² + NL² + (a²+b²) = 2(SA+HL)²
Теперь выразим расстояние между точками К и L через известные величины:
NK² + NL² = 2(SA+HL)² — (a²+b²)
NK² + NL² = 2(√(a²+b²)+HL)² — (a²+b²)
NK² + NL² = 2(a²+b²+2√(a²+b²)HL + HL²) — (a²+b²)
NK² + NL² = 2√(a²+b²)HL + 2HL²
HL(2√(a²+b²) + 2HL) = NK² + NL²
HL = (NK² + NL²) / (2√(a²+b²) + 2HL)
Это уравнение можно решить численно, подставив известные значения. Например, если a=3 и b=4, то √(a²+b²) = 5, а NK=2 и NL=5. Подставляя эти значения, получаем:
HL = (2² + 5²) / (2*5 + 2HL)
HL = 29 / (10 + 2HL)
2HL² + 10HL — 29 = 0
HL = (-10 + √244) / 4 ≈ 0.81 см
Таким образом, расстояние между точками К и L равно примерно 0.81 см.
