Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике АСВ с прямым углом С катет АС = m и угол ABC =φ. Найдите длины гипотенузы и другого катета треугольника.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится теорема косинусов, которая гласит:
В любом треугольнике со сторонами a, b и c, противолежащими углам A, B и C соответственно, справедлива формула:
c² = a² + b² — 2ab cos(C)
Применяя эту формулу к нашему треугольнику АСВ, получим:
AB² = AC² + BV² — 2AC·BV cos(φ)
Но мы знаем, что AC = m и cos(φ) = AC/AB, поэтому можно переписать формулу в виде:
AB² = m² + BV² — 2m·BV cos(φ)
Теперь нам нужно найти BV и AB. Для этого можно воспользоваться ещё одной теоремой, а именно теоремой синусов:
В любом треугольнике со сторонами a, b и c, противолежащими углам A, B и C соответственно, справедлива формула:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Применяя эту формулу к нашему треугольнику АСВ, получим:
m/sin(φ) = AB/sin(90°) = AB
Таким образом, мы нашли AB. Теперь осталось найти BV. Для этого можно воспользоваться формулой для sin(φ):
sin(φ) = BV/AB
Отсюда можно выразить BV:
BV = AB·sin(φ)
Подставляя найденные значения в формулу для AB², получим:
AB² = m² + AB²·sin²(φ) — 2m·AB·sin(φ)·cos(φ)
AB² — AB²·sin²(φ) = m² — 2m·AB·sin(φ)·cos(φ)
AB²(1 — sin²(φ)) = m² — 2m·AB·sin(φ)·cos(φ)
AB²·cos²(φ) = m² — 2m·AB·sin(φ)·cos(φ)
AB = m/cos(φ) — 2BV
BV = AB·sin(φ)
Таким образом, мы нашли длины гипотенузы и другого катета треугольника:
AB = m/cos(φ)
BV = AB·sin(φ) = m·sin(φ)/cos(φ)
