Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике ABC AB гипотенуза BD биссектриса DH высота треугольника BDA найдите DH если CD равен 7 см
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства биссектрисы и высоты в треугольнике.
Свойство биссектрисы гласит, что она делит противолежащий угол на две равные части. В нашем случае, биссектриса DH делит угол ADB на две равные части.
Свойство высоты заключается в том, что она перпендикулярна к основанию треугольника и проходит через вершину, к которой она проведена. В нашем случае, высота BH перпендикулярна к основанию AD и проходит через вершину B.
Из этих свойств следует, что точка пересечения биссектрисы и высоты (точка H) лежит на гипотенузе AB и делит ее на две отрезка, пропорциональных катетам BD и DA.
Таким образом, мы можем записать следующее соотношение:
AB/BD = AH/DH
AB/AD = BH/DH
Из первого уравнения мы можем выразить DH:
DH = AH * BD / AB
Из второго уравнения мы можем выразить AB:
AB = AD * BH / DH
Подставляя выражение для AB в первое уравнение, получаем:
DH = AH * BD / (AD * BH / DH)
DH^2 = AH * BD * DH / AD * BH
DH = (AH * BD * AD * BH)^0.5 / BH
Осталось найти AH и BH. Из прямоугольного треугольника ABD мы можем выразить AH и BD через гипотенузу AB:
AH = AB * sin(BAD)
BD = AB * sin(ABD)
Подставляя эти выражения в формулу для DH, получаем:
DH = (AB * sin(BAD) * AB * sin(ABD) * AD * BH)^0.5 / BH
DH = AB^2 * AD * sin(BAD) * sin(ABD) / BH
Осталось найти AB и BH. Из прямоугольного треугольника ABD мы можем выразить AB и BH через CD:
AB = (BD^2 + AD^2)^0.5
BH = AD * CD / (BD + CD)
Подставляя эти выражения в формулу для DH, получаем:
DH = ((BD^2 + AD^2)^0.5 * AD * sin(BAD) * sin(ABD) * (BD + CD)) / CD
DH = ((BD^2 + AD^2)^0.5 * sin(BAD) * sin(ABD) * (BD + CD)) / (AD * CD)
DH = ((BD^2 + AD^2)^0.5 * sin(BAD) * sin(ABD) * (BD + 7)) / (AD * 7)
DH = ((BD^2 + AD^2)^0.5 * sin(BAD) * sin(ABD) * (BD + 7)) / (AD * 7)
Осталось только подставить известные значения:
BD = AB * cos(BAD) = AB * cos(arcsin(7/BD)) = AB * (1 — 49/BD^2)^0.5
AD = AB * cos(ABD) = AB * cos(arcsin(BD/AB)) = AB * (1 — BD^2/AB^2)^0.5
sin(BAD) = BD / AB
sin(ABD) = AD / AB
Подставляя все значения, получаем:
DH = ((AB^2 * (1 — 49/BD^2) + AB^2 * (1 — BD^2/AB^2)) ^ 0.5 * BD / AB * AD / AB * (BD + 7)) / 7
DH = ((AB^2 — 49 + AB^2 — BD^2) ^ 0.5 * BD * AD * (BD + 7)) / (AB^2 * 7)
DH = ((2AB^2 — 49 — BD^2) ^ 0.5 * BD * AD * (BD + 7)) / (AB^2 * 7)
Осталось только найти AB и BD. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора:
AB^2 = BD^2 + AD^2
Подставляя это выражение в формулу для DH, получаем:
DH = ((2BD^2 + 2AD^2 — 49 — BD^2) ^ 0.5 * BD * AD * (BD + 7)) / (2 * BD^2 * 7)
DH = ((AD^2 — 49/2 + BD^2/2) ^ 0.5 * BD * AD * (BD + 7)) / (BD^2 * 7)
DH = ((AB^2/2 — 49/2 + BD^2/2) ^ 0.5 * BD * AD * (BD + 7)) / (BD^2 * 7)
DH = ((AB^2/2 — 21/2) ^ 0.5 * BD * AD * (BD + 7)) / (BD^2 * 7)
Осталось только подставить известное значение CD = 7 см и решить полученное уравнение относительно AB и BD. Получаем:
AB^2 = BD^2 + AD^2 = BD^2 + (AB^2 — BD^2) = AB^2
AB = (2CD^2)^0.5 = (2 * 7^2)^0.5 = 7 * (2)^0.5
BD = AB * (49/AB^2 + 1)^0.5 = 7 * (49/14)^0.5 = 7 * (7/2)^0.5
Подставляя эти значения в формулу для DH, получаем:
DH = ((AB^2/2 — 21/2) ^ 0.5 * BD * AD * (BD + 7)) / (BD^2 * 7)
DH = ((49 — 21) ^ 0.5 * 7 * (7/2)^0.5 * (7 * (2)^0.5 — 21/2) * (7 * (2)^0.5 + 7)) / ((7 * (7/2)^0.5)^2 * 7)
DH = 7 * (3/2)^0.5
Ответ: DH = 7 * (3/2)^0.5 см.
