Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике АВС длина катета АВ равна 6, а длина катета ВС равна 8. Точка D делит гипотенузу АС пополам. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольник АВD и в треугольник ВСD
Ответ от учителя
Для начала найдем длину гипотенузы треугольника АВС по теореме Пифагора:
$AC = sqrt{AB^2 + BC^2} = sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
Так как точка D делит гипотенузу пополам, то $AD = DC = frac{AC}{2} = 5$.
Рассмотрим треугольник АВD. Пусть $r_1$ — радиус вписанной окружности. Тогда по формуле для радиуса вписанной окружности:
$r_1 = frac{p_1}{p}$, где $p_1$ — полупериметр треугольника АВD, а $p$ — полупериметр треугольника АВС.
$p_1 = frac{AB + AD + BD}{2} = frac{6 + 5 + BD}{2} = frac{11 + BD}{2}$
$p = frac{AB + AC + BC}{2} = frac{6 + 10 + 8}{2} = 12$
Тогда $r_1 = frac{frac{11 + BD}{2}}{12} = frac{11 + BD}{24}$
Аналогично рассмотрим треугольник ВСD. Пусть $r_2$ — радиус вписанной окружности. Тогда по формуле для радиуса вписанной окружности:
$r_2 = frac{p_2}{p}$, где $p_2$ — полупериметр треугольника ВСD.
$p_2 = frac{BC + CD + BD}{2} = frac{8 + 5 + BD}{2} = frac{13 + BD}{2}$
Тогда $r_2 = frac{frac{13 + BD}{2}}{12} = frac{13 + BD}{24}$
Осталось найти расстояние между центрами окружностей. Обозначим это расстояние через $d$. Так как центры окружностей лежат на биссектрисе угла ВДС, то $BD$ является медианой треугольника ВДС. По формуле для медианы:
$BD^2 = frac{2VS^2 + 2VD^2 — DS^2}{4}$, где $VS$ — длина стороны ВС треугольника ВСD, $VD$ — длина стороны ВД треугольника ВДС, $DS$ — длина стороны ДС треугольника ВДС.
$VS = 8$, $VD = sqrt{VS^2 + DS^2} = sqrt{8^2 + 5^2} = sqrt{89}$, $DS = AC — AD — DC = 10 — 5 — 5 = 0$
Тогда $BD^2 = frac{2 cdot 8^2 + 2 cdot sqrt{89}^2 — 0^2}{4} = 36$
Отсюда $BD = 6$.
Теперь можем найти расстояние между центрами окружностей:
$d = r_1 + r_2 + BD = frac{11 + BD}{24} + frac{13 + BD}{24} + 6 = frac{30 + 2BD}{24} = frac{15 + BD}{12} = frac{15 + 6}{12} = frac{7}{2}$
Итак, расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольник АВD и в треугольник ВСD, равно $frac{7}{2}$.
