Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причём FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрисы EF с прямой DE обозначена буквой G. Тогда, так как EF является биссектрисой угла DCE, то угол ECF равен углу ECG. А так как треугольник DCE прямоугольный, то угол ECG равен половине угла CED. Таким образом, угол ECF равен половине угла CED.
Теперь рассмотрим треугольник EFC. Мы знаем, что FC = 13 см, а угол ECF равен половине угла CED. Так как треугольник DCE прямоугольный, то угол CED равен 90 градусам, а значит, угол ECF равен 45 градусам.
Таким образом, мы знаем длину одного катета треугольника EFC (FC = 13 см) и угол между катетом и гипотенузой (45 градусов). Можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения длины гипотенузы EF и второго катета EC.
sin(45 градусов) = EC/EF
EF = EC/sin(45 градусов)
Так как треугольник DCE прямоугольный, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины второго катета:
EC^2 + DC^2 = DE^2
EC^2 + (EF — FC)^2 = DE^2
EC^2 + (EF — 13)^2 = DE^2
Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника EFG и можем воспользоваться формулой для нахождения расстояния от точки F до прямой DE:
S = 2S(DEF)/EF
где S(DEF) — площадь треугольника DEF, которую мы можем найти по формуле Герона:
p = (EF + DE + DF)/2
S(DEF) = sqrt(p(p — EF)(p — DE)(p — DF))
где p — полупериметр треугольника DEF.
Подставляя все известные значения, получаем:
p = (EF + DE + DF)/2 = (EF + DE + FG)/2
p = (EC + FC + FG)/2 = (EC + 13 + FG)/2
EC = EF*sin(45 градусов) = EF/sqrt(2)
EC^2 + (EF — 13)^2 = DE^2
EF^2/2 + EF*13 — 170 = DE^2/2
Решая эту систему уравнений, мы найдем:
EF ≈ 18.38 см
DE ≈ 26.77 см
S(DEF) ≈ 54.15 кв.см
S ≈ 5.87 см
Таким образом, расстояние от точки F до прямой DE составляет примерно 5.87 см.
