Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 4 см, а градусная мера острого угла равна 60°. Вычислите длину катета, лежащего против угла в 60°.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:
$a^2 = b^2 + c^2 — 2bccosalpha$
где $a$ — длина гипотенузы, $b$ и $c$ — длины катетов, $alpha$ — градусная мера острого угла, лежащего против катета $b$.
Подставляя известные значения, получаем:
$4^2 = b^2 + c^2 — 2bccos60^circ$
$16 = b^2 + c^2 — bc$
Так как треугольник прямоугольный, то $b$ и $c$ являются катетами, а значит, $c$ лежит против угла в $90^circ$. Таким образом, мы ищем длину катета $b$.
Так как угол $60^circ$ является острым, то катет $b$ лежит против меньшего из двух острых углов. Значит, мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением для синуса:
$sinalpha = frac{b}{a}$
$sin60^circ = frac{b}{4}$
$frac{sqrt{3}}{2} = frac{b}{4}$
$b = frac{4sqrt{3}}{2} = 2sqrt{3}$
Таким образом, длина катета, лежащего против угла в $60^circ$, равна $2sqrt{3}$ см.
