Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике длины обоих катетов и гипотенузы- целые числа. Может ли площадь этого треугольника быть не целой
Ответ от учителя
Нет, площадь прямоугольного треугольника всегда будет рациональным числом, а значит, может быть представлена в виде дроби. Это можно доказать следующим образом:
Пусть катеты треугольника имеют длины a и b, а гипотенуза — c. Тогда по теореме Пифагора c^2 = a^2 + b^2.
Площадь треугольника равна S = (ab)/2.
Если a, b и c — целые числа, то c^2 = a^2 + b^2 — также целое число. Значит, c — целое число или дробь вида n/√m, где n и m — целые числа.
Если c — целое число, то площадь треугольника S = (ab)/2 — целое число.
Если c — дробь вида n/√m, то площадь треугольника S = (ab)/2 = (a/2) * b — рациональное число, так как a/2 — целое число, а b — целое число.
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника всегда будет рациональным числом и не может быть не целой.
