Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике один из острых углов равно 60°, а прилежащий к нему катет равен 12 см. Найдите длины отрезков, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу.
Ответ от учителя
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC прямой угол находится в вершине C, а угол B равен 60°. Тогда катет AB равен 12 см.
По теореме Пифагора находим длину гипотенузы AC:
AC² = AB² + BC²
AC² = 12² + BC²
AC² = 144 + BC²
AC = √(144 + BC²)
Проведем высоту CD из вершины C на гипотенузу AB. Тогда треугольник ACD будет подобен треугольнику ABC, так как угол ACD является прямым, а угол BAC равен углу BCA (они оба равны 60°). Значит, отношение сторон в этих треугольниках будет равно:
AC/AB = AD/AC
Подставляем выражение для AC и получаем:
√(144 + BC²)/12 = AD/√(144 + BC²)
Умножаем обе части на √(144 + BC²) и получаем:
AD = 12/2 = 6 см
Таким образом, высота CD делит гипотенузу AC на две части, длины которых равны 6 см и √(144 + BC²) — 6 см.
