Вопрос школьника
В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите его катеты.
Ответ от учителя
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза BC делится точкой D на отрезки BD = 5 см и DC = 12 см. Пусть точка касания вписанной окружности с треугольником ABC находится на стороне AB и обозначается точкой E.
Так как точка E является точкой касания вписанной окружности с треугольником ABC, то отрезок AE является радиусом вписанной окружности. Пусть радиус вписанной окружности равен r.
Также известно, что точка D является точкой касания вписанной окружности с треугольником BDC. Поэтому отрезок BD является радиусом вписанной окружности треугольника BDC. Пусть радиус вписанной окружности треугольника BDC равен r1.
Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:
AB^2 + BC^2 = AC^2
Заменяем BC на BD + DC и получаем:
AB^2 + (BD + DC)^2 = AC^2
AB^2 + BD^2 + 2BD·DC + DC^2 = AC^2
Заменяем BD на r1 и DC на r и получаем:
AB^2 + r1^2 + 2r1·r + r^2 = AC^2
Также заметим, что треугольник BDC прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора имеем:
BD^2 + DC^2 = BC^2
Заменяем BD на r1 и DC на r и получаем:
r1^2 + r^2 = BC^2
Так как точка E является точкой касания вписанной окружности с треугольником ABC, то отрезок AE является биссектрисой угла A. Поэтому имеем:
AB/BE = AC/CE
Заменяем AB на AC — BC и BE на r и получаем:
(AC — BC)/r = AC/(r + r1)
Решаем эту систему уравнений относительно r и r1:
r1 = BD = 5 см
r = (AC — BC)·r1/(AC + BC) = (AC — 17)·5/(AC + 17)
Подставляем найденные значения r и r1 в уравнения для AB^2 и BC^2:
AB^2 = AC^2 — r1^2 — 2r1·r — r^2 = AC^2 — 25 — 10(AC — 17)/(AC + 17) — (AC — 17)^2·25/(AC + 17)^2
BC^2 = r1^2 + r^2 = 25 + (AC — 17)^2·25/(AC + 17)^2
Теперь осталось решить систему уравнений AB^2 + BC^2 = AC^2 и BD + DC = 17 относительно AC и AB:
AC = (AB^2 + BC^2)/(2·BD) = (AB^2 + BC^2)/10
AB + AC = BD + DC = 17
AB + (AB^2 + BC^2)/10 = 17
AB^2 + BC^2 + 10AB — 170 = 0
Подставляем найденное значение AB^2 и решаем квадратное уравнение относительно AB:
(AC — 17)·5/(AC + 17) = r
(AB^2 + BC^2)/10 + AB = 17
AB^2 + BC^2 + 10AB — 170 = 0
AB = 8 см
AC = (AB^2 + BC^2)/10 = 17 см
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см.
