Вопрос школьника
В прямоугольную трапецию ABCD вписана окружность, которая касается сторон трапеции в точках K, L, M, N. Найти CB/AD, если площадь четырехугольника KLMN относится к площади трапеции как 3 : 10.
Ответ от учителя
Пусть AB = a, CD = b, AD = c, BC = d. Так как окружность вписана в трапецию, то ее центр лежит на средней линии трапеции, то есть на отрезке EF, где E и F — середины сторон AB и CD соответственно. Пусть радиус окружности равен r.
Так как окружность касается сторон трапеции, то отрезки KN, LM, KL и MN являются касательными к окружности. Пусть точки касания окружности с KN, LM, KL и MN обозначаются как P, Q, R и S соответственно.
Так как KN и LM являются параллельными сторонами трапеции, то KP = ML = a — r — d/2 и KQ = LN = b — r — d/2. Аналогично, KR = MP = a — r — c/2 и KS = NQ = b — r — c/2.
Пусть x = KL = MN — это длина отрезка, соединяющего точки касания окружности с касательными. Тогда длины сторон четырехугольника KLMN равны:
KN = KP + PN = KP + KQ = 2a — 2r — d
LM = LQ + QM = KQ + QM = 2b — 2r — d
KL = KN — x = 2a — 2r — d — x
MN = LM — x = 2b — 2r — d — x
Площадь четырехугольника KLMN равна:
S(KLMN) = (KL + MN) * x / 2 = (2a — 2r — d — x + 2b — 2r — d — x) * x / 2 = (2a + 2b — 4r — 2d) * x / 2 = (a + b — 2r — d) * x
Так как площадь трапеции ABCD равна (a + b) * c / 2, то отношение площадей равно:
S(KLMN) / S(ABCD) = 3 / 10
(a + b — 2r — d) * x / (a + b) * c / 2 = 3 / 10
(a + b — 2r — d) * x = 3c / 5
Так как точки K, L, M и N делят стороны трапеции на равные отрезки, то KL = MN = x / 2. Тогда:
(a + b — 2r — d) * x / 2 = 3c / 10
(a + b — 2r — d) * x = 3c / 5
(a + b — 2r — d) * x / (a + b) = 3c / 10(a + b)
Так как точки K, L, M и N лежат на окружности, то KP * PN = MP * PQ. Подставляя выражения для KP, PN, MP и PQ, получаем:
(a — r — d/2) * (b — r — d/2) = (a — r — c/2) * (b — r — c/2)
ab — ar — ad/2 — br + r^2 + bd/4 = ab — ar — bc/2 — br + r^2 + ac/4
ad/2 — bc/2 = ac/4 — bd/4
ad — bc = (a — b) * c / 2
Таким образом, у нас есть два уравнения:
(a + b — 2r — d) * x / (a + b) = 3c / 10(a + b)
ad — bc = (a — b) * c / 2
Разрешая их относительно d и c, получаем:
d = (2ar + 2br — 3c) / (2r — 4a — 4b)
c = 2(ad — bc) / (a — b)
Теперь можем выразить отношение CB/AD:
CB/AD = (a + d) / (b + c) = (a + (2ar + 2br — 3c) / (2r — 4a — 4b)) / (b + 2(ad — bc) / (a — b))
Подставляя выражения для d и c, получаем:
CB/AD = (a(2r — 3a — 3b) + b(2r — 3a — 3b) + 2ar — 2br) / (b(2r — 3a — 3b) + a(2r — 3a — 3b) + 4(ad — bc)/(a — b))
Упрощая выражение, получаем:
CB/AD = (a + b + 2r) / (a + b — 2r)
Таким образом, отношение CB/AD равно (a + b + 2r) / (a + b — 2r), где a, b, c, d и r — известные величины, которые можно выразить через стороны трапеции и радиус вписанной окружности.
