Вопрос школьника
В прямоугольных треугольниках АСВ и А₁С₁В₁ угол C = углу C₁ = 90°. Отрезки АО и А₁О₁ — их медианы. Докажите, что треугольники АСВ и А₁С₁В₁ равны, если АС =А₁С₁ и угол СОА = углу C₁O₁А₁.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства треугольников АСВ и А₁С₁В₁ необходимо показать, что они имеют равные стороны и равные углы.
Из условия задачи известно, что угол C = углу C₁ = 90°, а отрезки АО и А₁О₁ являются медианами треугольников АСВ и А₁С₁В₁ соответственно. Это означает, что они делят стороны треугольников пополам.
Таким образом, имеем:
— Сторона АС равна стороне А₁С₁ по условию задачи.
— Сторона ВС равна стороне В₁С₁, так как они являются половинами стороны АО и А₁О₁ соответственно.
— Сторона АВ равна стороне А₁В₁, так как они являются половинами стороны СО и С₁О₁ соответственно.
Таким образом, треугольники АСВ и А₁С₁В₁ имеют равные стороны.
Осталось доказать равенство углов. Из условия задачи известно, что угол СОА = углу C₁O₁А₁. Так как угол СОА является углом между сторонами АС и АВ, а угол C₁O₁А₁ является углом между сторонами А₁С₁ и А₁В₁, то эти углы являются соответственными углами при равных сторонах. Следовательно, угол СОА равен углу C₁O₁А₁.
Таким образом, треугольники АСВ и А₁С₁В₁ имеют равные стороны и равные углы, что означает их равенство.
