Вопрос школьника
В прямоугольный треугольник ABC (угол ACB = 90°) вписана окружность. Вычислите радиус этой окружности, если АС = 2√3 см и угол BAC = 60°.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, поэтому мы можем применить теорему Пифагора:
AB² = AC² — BC²
Так как AC = 2√3, а угол BAC = 60°, то мы можем найти BC:
BC = AC * sin(BAC) = 2√3 * sin(60°) = 2√3 * √3/2 = 3
Теперь мы можем найти AB:
AB² = AC² — BC² = 12 — 9 = 3
AB = √3
Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен половине высоты, опущенной на гипотенузу. Мы можем найти эту высоту, используя формулу для площади треугольника:
S = AB * AC / 2
S = √3 * 2√3 / 2 = 3
Высота, опущенная на гипотенузу, равна:
h = 2S / AC = 3 / √3 = √3
Радиус окружности равен половине этой высоты:
r = h / 2 = √3 / 2
Ответ: радиус вписанной окружности равен √3 / 2 см.
