Вопрос школьника
В прямоугольный треугольник вписана окружность, точка касания которой делит гипотенузу на отрезки, длины которых m и n. Докажите, что площадь S треугольника можно найти по формуле S = mn.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим через a, b и c стороны прямоугольного треугольника, где c — гипотенуза. Также обозначим через r радиус вписанной окружности, а через h — высоту, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу.
Известно, что точка касания окружности с гипотенузой делит ее на отрезки m и n. Тогда, согласно теореме о касательной, имеем:
m = c — a
n = c — b
Также известно, что радиус вписанной окружности выражается через площадь треугольника и полупериметр:
r = S / p
где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр треугольника.
Площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и высоту, опущенную на гипотенузу:
S = rh
Высота h можно выразить через отрезки m и n:
h = (2S) / c = (2r(p-a)(p-b)) / c = 2r(mn/c)
Теперь можем выразить площадь S через отрезки m и n:
S = rh = 2r(mn/c) = 2(S/p)(m(c-a)/c)(n(c-b)/c) = 2S(mn/(a+b+c))
Учитывая, что a+b+c = 2p, получаем:
S = mn
Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольного треугольника можно выразить через отрезки, на которые гипотенуза делится точкой касания вписанной окружности.
