Вопрос школьника
В пятых классах учатся 100 учеников. Из них 75 учеников изучают немецкий язык, 85 учеников — французский, а 10 учеников не изучают ни одного из этих языков. Сколько учеников изучают только французский, а сколько — только немецкий язык?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно использовать формулу включений-исключений.
Обозначим через A множество учеников, изучающих немецкий язык, через B — множество учеников, изучающих французский язык, а через C — множество учеников, не изучающих ни один из этих языков. Тогда по условию задачи:
|A| = 75, |B| = 85, |C| = 10, |A ∪ B ∪ C| = 100.
Нам нужно найти |B A| — количество учеников, изучающих только французский язык, и |A B| — количество учеников, изучающих только немецкий язык.
Применим формулу включений-исключений:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| — |A ∩ B| + |C|
100 = 75 + 85 — |A ∩ B| + 10
|A ∩ B| = 50
Теперь найдем |B A| и |A B|:
|B A| = |B| — |A ∩ B| = 85 — 50 = 35
|A B| = |A| — |A ∩ B| = 75 — 50 = 25
Ответ: 35 учеников изучают только французский язык, а 25 учеников — только немецкий язык.
