В равнобедренной трапеции ACDE проведены биссектрисы углов А и Е, которые пересекаются в точке на основании CD. Найдите периметр

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

В равнобедренной трапеции ACDE проведены биссектрисы углов А и Е, которые пересекаются в точке на основании CD. Найдите периметр трапеции, если АС = 6, АЕ = 18.

Ответ от учителя

Пусть точка пересечения биссектрис на основании трапеции CD обозначена буквой F. Так как трапеция ACDE равнобедренная, то CE = AD. Обозначим эту длину за x. Тогда, так как биссектрисы углов А и Е делят основание на две равные части, CF = FD и EF = FE.

Так как CF и FD являются частями биссектрисы угла А, то они равны между собой. Аналогично, EF и FE равны между собой, так как являются частями биссектрисы угла Е. Таким образом, мы можем записать систему уравнений:

CF = FD
EF = FE
CF + EF + x + x = 6 + 18

Первые два уравнения означают, что треугольник CFE равнобедренный, а третье уравнение означает, что периметр трапеции равен сумме всех ее сторон.

Из первых двух уравнений следует, что CE = CD, так как треугольники CFE и DFE равны между собой по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, мы можем записать еще одно уравнение:

2x + CE = 6 + 18

Из этого уравнения следует, что CE = 12 — x. Таким образом, мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

CF = FD
EF = FE
2x + CE = 24

Решая эту систему, мы находим, что CF = FD = 3, EF = FE = 9 и x = 3. Тогда периметр трапеции равен:

AC + CD + DE + AE = 6 + 6 + 2x + 18 = 30 + 2x = 36

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции ACDE равен 36.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *