Вопрос школьника
В равнобедренной трапеции ACDE проведены биссектрисы углов А и Е, которые пересекаются в точке на основании CD. Найдите периметр трапеции, если АС = 6, АЕ = 18.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрис на основании трапеции CD обозначена буквой F. Так как трапеция ACDE равнобедренная, то CE = AD. Обозначим эту длину за x. Тогда, так как биссектрисы углов А и Е делят основание на две равные части, CF = FD и EF = FE.
Так как CF и FD являются частями биссектрисы угла А, то они равны между собой. Аналогично, EF и FE равны между собой, так как являются частями биссектрисы угла Е. Таким образом, мы можем записать систему уравнений:
CF = FD
EF = FE
CF + EF + x + x = 6 + 18
Первые два уравнения означают, что треугольник CFE равнобедренный, а третье уравнение означает, что периметр трапеции равен сумме всех ее сторон.
Из первых двух уравнений следует, что CE = CD, так как треугольники CFE и DFE равны между собой по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, мы можем записать еще одно уравнение:
2x + CE = 6 + 18
Из этого уравнения следует, что CE = 12 — x. Таким образом, мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
CF = FD
EF = FE
2x + CE = 24
Решая эту систему, мы находим, что CF = FD = 3, EF = FE = 9 и x = 3. Тогда периметр трапеции равен:
AC + CD + DE + AE = 6 + 6 + 2x + 18 = 30 + 2x = 36
Таким образом, периметр равнобедренной трапеции ACDE равен 36.