Вопрос школьника
В равнобедренной трапеции средняя линия равна k, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны a и b, а высота равна h. Так как трапеция равнобедренная, то ее средняя линия равна полусумме оснований: k = (a + b) / 2.
Также, так как диагонали взаимно перпендикулярны, то они делят трапецию на 4 прямоугольных треугольника. Пусть диагонали равны d1 и d2.
Тогда по теореме Пифагора для каждого из этих треугольников имеем:
(h/2)^2 + (a/2)^2 = d1^2/4
(h/2)^2 + (b/2)^2 = d2^2/4
Выразим высоту h из первого уравнения: h^2 = d1^2 — a^2
Подставим это выражение во второе уравнение и выразим a через b и k:
(d1^2 — a^2)/4 + (b/2)^2 = d2^2/4
d1^2 — a^2 + b^2 = d2^2
d1^2 — (a + b)^2/4 + b^2 = d2^2
d1^2 — (k)^2 + b^2 = d2^2
Теперь найдем площадь трапеции через основания и высоту:
S = (a + b) * h / 2
S = (a + b) * sqrt(d1^2 — a^2) / 2
Подставим выражение для a из последнего уравнения:
S = (a + b) * sqrt(d1^2 — (d1^2 — b^2 + k^2)) / 2
S = (a + b) * sqrt(b^2 — k^2) / 2
Подставим выражение для a из уравнения d1^2 — (k)^2 + b^2 = d2^2:
S = (2k) * sqrt(d2^2 — k^2) / 4
S = k * sqrt(d2^2 — k^2) / 2
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции средней линией k и перпендикулярными диагоналями d1 и d2 равна k * sqrt(d2^2 — k^2) / 2.
