Вопрос школьника
В равнобедренной трапеции угол при меньшем основании равен 135°. Вычислите площадь трапеции, если длина большего основания равна 18 см, а ее высота равна меньшему основанию трапеции.
Ответ от учителя
Пусть меньшее основание трапеции равно b, а высота равна h. Так как угол при меньшем основании равен 135°, то угол при большем основании равен 180° — 135° = 45° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°). Таким образом, мы можем разбить трапецию на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты b/2 и h, а гипотенуза равна 18 см.
Используя теорему Пифагора, мы можем выразить b/2 через h:
(b/2)^2 + h^2 = 18^2
(b/2)^2 = 18^2 — h^2
b/2 = √(18^2 — h^2)
b = 2√(18^2 — h^2)
Таким образом, площадь трапеции равна:
S = (b + B) * h / 2
S = (2√(18^2 — h^2) + 18) * h / 2
S = (√(18^2 — h^2) + 9) * h
Теперь нам нужно найти значение h. Мы знаем, что h равна высоте прямоугольного треугольника с катетами b/2 и h, а гипотенуза которого равна 18 см. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора еще раз:
(b/2)^2 + h^2 = 18^2
h^2 = 18^2 — (b/2)^2
h = √(18^2 — (b/2)^2)
h = √(18^2 — (9^2 — h^2))
h = √(18^2 — 81 + h^2)
h^2 — h^2 = 18^2 — 81
h^2 = 225
h = 15
Теперь мы можем подставить значение h в формулу для площади трапеции:
S = (√(18^2 — h^2) + 9) * h
S = (√(18^2 — 15^2) + 9) * 15
S = (9 + 9) * 15
S = 270
Ответ: площадь трапеции равна 270 квадратных сантиметров.
