Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол BОС равен внешнему углу треугольника при вершине B
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством биссектрисы угла в треугольнике.
Известно, что биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.
В нашем случае, биссектриса угла B делит сторону AC на отрезки AB и BC, причем AB/BC=AC/BC. Аналогично, биссектриса угла C делит сторону AB на отрезки AC и BC, причем AC/BC=AB/BC.
Из этих двух равенств следует, что AB=AC, то есть треугольник ABC является равнобедренным.
Также известно, что биссектрисы углов B и C пересекаются в точке О.
Рассмотрим теперь треугольник BOC. Угол BOC является внутренним углом треугольника, а значит, его смежные углы BOA и AOC являются внешними углами треугольника ABC.
Но так как треугольник ABC равнобедренный, то углы B и C равны, а значит, их биссектрисы также равны. Следовательно, точка О лежит на биссектрисе угла BOC, а значит, угол BОС является внутренним углом треугольника BOC, а угол BOA является его внешним углом.
Таким образом, угол BОС равен внешнему углу треугольника при вершине B.
